재무학 맛보기-옵션 가격과 블랙-숄즈 모형
안녕하세요 독서칼럼에 진심인 타르코프스키입니다.
경영학은 수능 비문학에서 출제하기에 일반적으로 좋은 소재는 아닌 듯 합니다. 특히 재무학 부분은 수리적인 접근이 많이 필요해서, 경영학 내에서도 이과 학문같은 취급을 받기도 합니다. 하지만 방심할 수는 없습니다. 학생들이 낯설어하는 주제이기 때문에 오히려 출제되었을 때의 파괴력은 더 클 것으로 예상해볼 수 있습니다. 실제로 재무학의 위험평가이론, 블랙-숄즈 모형 등은 출제 가능한 주제라고 생각합니다.
이제 서론 읽을 시간도 없습니다.
핸드폰 켠 김에, 옵션가격과 블랙-숄즈 모형을 분석한 아래 재무학 지문을 읽어보세요.
이 글을 완독하면 적어도 12개의 개념어를 얻어갈 수 있습니다.
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조건부 약속(contingent promises), 재정거래(arbitrage), 행사가격(strike price)
무차익 원칙(principle of no arbitrage), 연속 복리(continuous compounding), 거래 상대방 위험(counterparty risk)
헤지비율(Δ), 위험중립적 가치평가, 이항트리
로그정규분포, 파인만-캑 공식, 두터운 꼬리 현상
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(연습문제 1)
출처: https://www.youtube.com/watch?v=9ScZLjTnYro&t=39s
참조 및 재구성.
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(연습문제 2)
금융 시장(financial markets)에서 선도 계약(forward contracts)은 미래의 특정 시점과 가격에 자산을 매매하기로 약정하는 구속력 있는 합의로, 그 가격 책정은 무위험 차익 거래가 불가능하다는 무차익 원칙(principle of no arbitrage)에 의해 근본적으로 결정된다. 이론적 선도 가격은 현재의 현물 가격(spot price)을 계약 기간 동안의 보유 비용을 반영하여 조정한 것으로, 무위험 이자율(risk-free interest rate)을 연속 복리로 계산하여 ( F = S e^{rT} )라는 수식으로 표현된다. 이때 ( S)는 현물 가격, ( r )은 연속 복리 무위험 이자율, ( T )는 만기까지의 시간을 나타낸다. 이러한 지수 함수는 복리 빈도가 무한대로 증가할 때 유효 연간 이자율이 지수 함수로 수렴하는 연속 복리(continuous compounding) 개념에서 도출되며, 시간 경과에 따른 이자의 최대 누적 효과를 반영한다. 실제 선도 가격이 이론적 가격과 괴리를 보일 경우 차익 거래 기회가 발생하는데, 선도 가격이 과대평가된 경우 차익 거래자는 캐시앤캐리(cash-and-carry) 전략을 구사할 수 있다. 이는 선도 계약을 매도하고 무위험 이자율로 자금을 차입하여 현물 시장에서 기초 자산을 매수한 후, 만기에 가격 차이로 이익을 실현하는 방식이다. 반대로 선도 가격이 과소평가된 경우, 역(逆) 캐시앤캐리 전략을 활용하여 선도 계약을 매수하고 기초 자산을 공매도하며 그 대금을 무위험 이자율로 투자한 뒤, 만기에 자산을 매입하여 공매도 포지션을 상환함으로써 무위험 이익을 창출할 수 있다. 선도 계약에 내재된 거래 상대방 위험(counterparty risk)을 완화하기 위해 선물 계약(futures contracts)이 발전했는데, 이는 거래소에서 거래되는 표준화된 합의로서 일일 정산(marking to market) 과정을 통해 참여자의 증거금 계좌(margin accounts)를 일일 손익에 따라 조정하여 충분한 담보를 유지하고 과도한 손실의 누적을 방지한다. 계약의 표준화는 규모, 품질 등급, 인도 조건 등을 명확히 함으로써 시장 유동성(liquidity)을 제고한다. 그러나 극심한 시장 변동성은 이러한 안전장치에 도전이 될 수 있는데, 급격하고 큰 폭의 가격 변동은 거래자가 감당하기 어려운 대규모 증거금 납부 요구(margin calls)를 유발하여 시장 안정성을 위협하는 디폴트를 초래할 수 있다. 이에 대응하여 거래소는 거래 중단, 증거금 요건 조정, 거래 취소 등의 조치를 취할 수 있으나, 이는 시장의 완전성(integrity)과 공정성에 대한 우려를 야기할 수 있다. 이러한 복잡한 역학 관계는 강력한 위험 관리 프로토콜에도 불구하고 상품 선물 시장(commodity futures markets)에 내재된 위험성을 부각시키며, 시장의 안정성과 완전성 유지를 위한 철저한 감독과 탄력적인 규제 체계의 중요성을 강조한다. |
<틀린 선택지> |
<틀린 선택지> |
<틀린 선택지> |
<이 글에서 얻어갈 개념 3가지> |
(연습문제 3)
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(연습문제 4)
블랙-숄즈 공식(Black-Scholes formula)은 옵션 가격 결정(options pricing)에 있어 획기적인 진보를 대변하며, 이항 모델의 연속시간 확장으로 간주된다. 옵션(option)은 투자자들이 위험을 관리할 수 있게 하는 금융 파생상품으로, 미리 정해진 가격에 자산을 매매할 수 있는 권리를 부여한다. 이 공식은 주가가 로그정규분포(log-normal distribution)를 따른다는 핵심 가정에 기반하는데, 이는 주가의 로그값이 음의 무한대에서 양의 무한대까지의 범위를 가질 수 있음을 인식한 결과다. 이러한 수학적 조정을 통해 금융 시장의 실제 역학과 부합하는 가격 변동 모델링이 가능해졌다. 공식의 도출 과정에는 고도의 확률 미분 방정식이 적용되었으며, 특히 물리학에서 차용한 파인만-캑 공식(Feynman-Kac formula)이 중요한 역할을 했다. 블랙과 숄즈는 모델에 내재된 복잡한 방정식을 해결하기 위해 경제학의 경계를 넘어 물리학자들과의 학제간 협력을 추구했다. 이 공식의 복잡성에도 불구하고, 현재 금융계에서는 광범위하게 사용되고 있으며, 트레이더들은 종종 그 기저의 수학적 복잡성을 완전히 파악하지 못한 채로 금융 계산기에 공식을 입력하곤 한다. 블랙-숄즈 모델의 실용적 가치는 이론적 금융을 넘어 다양한 산업 분야에서의 위험 헤지(risk hedging)를 가능케 한다. 예컨대, 항공사들은 연료 비용 안정화를 위해 옵션을 활용하고, 농부들은 작물 가격 변동에 대비해 위험을 헤지함으로써, 위험 부담 능력이 부족한 주체로부터 더 나은 관리 능력을 갖춘 주체로 위험을 이전시킨다. 이러한 메커니즘은 보험의 기본 원리와 유사하게 경제적 안정성을 제공하고 사회 후생에 기여한다. 그러나 이 모델은 수익률의 정규분포를 전제로 하는 반면, 실제 금융 수익률은 흔히 "두터운 꼬리(fat tails)" 현상을 보여 극단적 시장 사건이 모델의 예측보다 더 빈번히 발생함을 시사한다. 이러한 가정의 한계는 블랙-숄즈 모델 설계자들이 운영하던 헤지 펀드인 롱텀 캐피탈 매니지먼트(Long-Term Capital Management)의 붕괴를 통해 여실히 드러났는데, 이는 모델이 고려하지 못한 시장 변칙성으로 인해 실패했다. 블랙-숄즈 공식 이전에는 옵션 가격이 기본 경제 원리에 근거한 상한과 하한을 설정하는 경계 조건(boundary conditions)을 통해 책정되었으며, 이는 정확한 계산 없이 이루어졌다. 이러한 역사적 맥락은 금융 상품의 진화와 위험 관리 도구의 증대되는 정교함을 부각시킨다. 그럼에도 불구하고 금융계에서 "공짜 점심은 없다(no free lunch)"는 원칙은 여전히 유효한데, 이는 시장을 지속적으로 능가하려는 시도가 예측 불가능한 변수와 인간 행동으로 인해 종종 좌절되기 때문이다. 금융 모델의 한계를 인식하는 것은 매우 중요하다. 이러한 모델들이 유용한 프레임워크를 제공하긴 하지만, 현실 세계의 복잡성을 고려하지 않은 채 맹목적으로 의존할 경우 심각한 결과를 초래할 수 있다. 블랙-숄즈 공식은 금융 혁신의 최고점을 상징함과 동시에 시장 현실에 대응한 지속적인 검증과 적응의 필요성을 대변한다. |
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<이 글에서 얻어갈 개념 3가지> |
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금융수학 수업에서 열심히 증명했더랬죠