칼럼[4] : 수학시험 망하는 위험한 태도
안녕하세요
조금 짧은 네 번째 공부 이야기
[4] 수학시험 망하는 위험한 습관
부제 : 교육 과정의 중요성
입니다
수학 시험을 망치는 루틴은 아주 다양합니다
오늘은 그중 하나인 엉뚱한 생각으로 빠져드는 것에 대해
간단히 다뤄보려고 해요
좋아요, 팔로우는 큰 힘이 됩니다 :)
1. 시험을 망치는 위험한 생각
누구나 수학 시험을 망쳐본 적이 있을거에요
“망친다”는 말은, 너무 어려워서 점수가 안 나온걸 뜻하지 않죠
내가 원래 받아야 할, 받을 수 있었던 점수보다
현저히 낮은 점수를 받는 것
그럴 때 우리는 시험을 망쳤다고 합니다
왜 그렇게 될까요?
풀어내었어야 할 문제들을 틀리니까 이런 결과가 나오겠지요
왜 풀어내었어야 할 문제를 틀렸을까요?
많은 경우가 있겠지만, 시간이 부족한 경우가 많아요
왜 시간이 부족할까요?
역시 많은 경우가 있지만, 오늘 다뤄볼 것은
하나의 문제에서 과도하게 시간을 빼앗기는 경우에요
2. 이것만 하면 풀리는데?
간단히 예를 들어볼게요
우리가 시험을 보는데, 수학2 준킬러 문제를 만났다고 해봐요
그 문제를 열심히 해석하고, 중간 풀이를 진행해보니
다음과 같은 그래프를 그릴 수 있었어요
*참조) 해당 그래프가 x=0에서 심중근인 두 다항함수로 보여
그런 상황은 존재할 수 없다는 지적이 있었습니다
첫째로 저는 해당 상황이 다항함수라고 전제하지 않았습니다
그저 제가 전하고자 하는 위험한 태도에 대해 설명하기 위해
대강 만들어낸 예시 상황입니다
다만 누가 봐도 삼차와 사차 함수로 보이는 것은 맞습니다
다음에는 조금 더 혼동 없는 예를 들도록 노력하겠습니다
둘째로 해당 그림은 “이런 함수가 존재한다”라는 것이 아니라
학생이 문제를 푸는 과정에서 그려낸 그림이라는 것이 전제입니다
그려놓고 보니 x=0 근처에서의 상황을 판단해야 함을 깨달은거죠
이를 판단하는 과정에서 발생할 수 있는 태도적인 문제점
그것이 이번 글에서 다루는 주요 포인트입니다
그리고 우리가 다음과 같은 결론을 내렸다고 가정할게요
“이 문제는, f>g인 범위를 구해내면 끝이구나!”
여기서 문제가 발생합니다
이것만 구하면 된다라는 생각이 드는 순간
우리는 마음이 급해져요
그리고, 이상한 방향의 풀이를 전개하기 시작해요
그래프를 그렸고, 범위만 풀면 되니까, 저 두 곡선을 비교해보자
그러기 위해서는 어떻게 해야 하지?
원점 근처에서 그래프의 모양을 자세히 알아야 할 거 같은데?
좋아…할만해…난 함수의 그래프의 기울기를 구할 줄 아니까…
원점 근처에서 누가 더 빠르게 기울기가 변하는지를 보면 되나?
뭔가 억지같은데, 이렇게 해도 되나? 근데 이거만 하면 풀리는데?
그렇게 어거지로 풀이의 마지막 과정을 전개하다 시계를 보면
식은땀이 흐르기 시작합니다
어느새 십 분 가까이 지나 있을 테니까요
3. “이거만 하면 풀릴 때”의 워험성
예시가 조금 억지스럽거나 과장되었다고 생각하실지도 모르겠어요
설명을 위해 급조한 상황이니까요
하지만 한 번이라도 비슷한 경험을 해보신 분들이라면
이게 어떤 상황인지 이해하시지 않을까 싶어요
분명히 이거 하나만 구하면 풀릴 거니까
그러니까 악착같이 내가 아는 모든 방법을 응용해서 시도했는데
막 창의력을 발휘해서 개념을 적용하고 머리를 굴렸는데
풀어내긴 했지만 시간이 어마어마하게 소모되거나
시간만 허비하고 답은 안 나오는 경우
그리고 시험이 끝난 후 한숨을 쉬며 펼쳐본 해설지에는
내가 생각한 것과 전혀 다른 방향으로, 아주 간단하게, 명료하게
그 답을 구하는 과정이 실려있어요
환장할 노릇입니다
위의 문제를 예로 들자면
시험 순간에는 별의별 생각을 다 하면서 곡선끼리 비교했지만
해설지에서는 대수적인 계산을 통해 문제를 풀어놓은 것이죠
이러한 현상이 발생하는 이유는
마음이 급하기 때문
그리고
해놓은 사고, 그려놓은 그림이 아까운 심리
때문이에요
4. 결국, 해법은 개념이다
이러한 잘못된 풀이 밀어붙이기로 인해 시험을 망친 경험이 있다면
한 가지 해결 방안을 제시해드릴게요
바로
교육 과정에 입각하여 사고하기입니다
방법은 간단해요
문제 풀이 과정에서 어떤 단계를 적용하려 할 때
아주 잠시만 손을 멈추세요
그리고, 지금 하려는 행동이 교육 과정상 합당한지를 생각하세요
평가원의 수학 문제는 교육과정상 논리의 하자 없이 풀이 가능하며
그러한 풀이를 구사했을 때 가장 깔끔하게 풀리는 경우가 많아요
위의 문제로 예를 들자면, 수학2 교과서나 개념서에서
두 곡선의 곡률을 비교하는 풀이를 해본 적이 있나요?
어떤 곡선이 더 빨리 굽어지는지를 통한 위치 관계 비교?
아마 그런 건 본 적이 없을거에요
우리가 푸는 현 체제의 시험지는 아주 강력한 힌트를 준답니다
어떤 과목에서 출제된 문제인지를 알고 있다는 것
그게 아주 큰 무기가 될 때가 있어요
이상한 길로 빠지는 걸 막아주는 무기요
공통 과목에서 미적분의 덧셈정리나 이계도함수를 이용할 리 없고
미적분을 푸는데 갑자기 기하에 쓰이는 정리가 나올 리 없어요
만약 적용 가능하다 해도, 그건 오히려 돌아가는 풀이일 가능성이
매우 높아요
요약하자면
시험 상황에서 엉뚱한 생각을 하며 시간을 낭비하고 운영을 망치는
그로 인해 받아야 할 점수를 못 받는 상황을 방지하려면
내가 적용하려는 풀이법이 교육 과정상 합당한지를 생각하고
만약 뭔가 이상하다면 당장 다음 문제로 넘어가세요
그렇게 잠시 문제와 멀어졌다가 다시 돌아온다면
아까는 보이지 않던 명료한 해법이
보이게 될 가능성이 아주 높아요
5. 마치며
이번 칼럼은 어느 정도 실모도 풀고 수학 공부를 해보신
2~3등급 분들께 가장 도움이 될 듯하네요
오늘 준비한 내용은 여기까지에요
벌써 2025년의 첫 달이 지나갔어요
합격을 기다리시는 분들에게는 좋은 소식이 있기를
그리고 26수능을 준비하시는 분들은
서서히 속도를 내셔서 원하는 결과를 낼 수 있기를 바라요
저는 다음 칼럼
지2 선택이 고민이신가요?_지구과학2 미리보기
에서 다시 찾아뵙겠습니다
유익했다면 좋아요 한 번씩 부탁드립니다 :)
[현월의 공부 이야기]
[0] 인사
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[1] 망각과 싸우는 방법
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[설문] 국어가 고민이라면
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[4] 수학시험 망하는 위험한 태도
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많이도 알려주네 대체 기준을 어디에 둬야되는건데 ㅅㅂㅅㅂㅅㅂㅂ
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사실 사람을 만나는게 오랜만일지도
좋은 칼럼 감사합니다
잘 읽었어요:)
그래서 위의 문제상황에서, f-g=px^2(x^2+mx+n) 로 둔 후에 D=<0 하는 거 맞나요?
애초에 저 개형 자체가 모순이네요.
f-g는 각각의 이계도함수가 다르므로 삼중근은 아니고 중근인데, 그러면 f-g 누 x=0에서 부변있으면 안되네요
inna님, 날카로운 지적 감사합니다
다만, 저는 해당 함수가 다항함수라 하지 않았습니다
그저 어떤 말을 전하고자 하는지 이해를 돕기 위해
적당히 예시를 만들었을 뿐입니다
상당히 삼차와 사차함수처럼 보이는 것은 맞으니
다음에는 조금 더 혼동 없는 예를 들도록 해볼게요
그리고 해당 그림은
부호 변화가 발생함을 표현한 것이 아니라
“애매하게 그림이 그려진 상황”일 뿐입니다
“풀이 과정에서 다음과 같은 그래프를 그릴 수 있었다“
라고 표현했어요
즉 해당 그래프는 문제를 푸는 과정에서
학생이 대강 그려낸 개형 정도입니다
판단해야 할 부분은 0에서 어떻게 생겼는지이고
그걸 위해 억지로 개형을 이용하는 등의 풀이를
위험한 풀이 전개를 지양하라는 것이
제가 전하고자 하는 바입니다
감사합니다 그런데 문제 풀이를 할 때 교육 과정 상 합당한 풀이인지는 어떻게 알 수 있나요? 교과서 내용을 바탕으로 한 풀이라는 말씀이신가요?
개념을 학습하고 기출 문제의 올바른 풀이를 익힐 때
그때 배울 수 이는 적절한 내용을 바탕으로 한 풀이
그걸 기준으로 판단하라는 말씀입니다
구체적으로 예를 든 것이
수2에서 두 곡선의 곡률을 따지고 있지 말고
공통에서 덧셈정리를 쓰고있지 말라는 말이죠
감사합니다
훌륭해요
감사합니다 선생님 :)