미적 질문 (간단하게 정리했음)
g(x)가 아무런 조건도 없는 상황인데
2x+npi 꼴이라 할 수 있나요?
g(0) = npi 가 아닌 상황이면
꼭 g'(0) =2 일 필요는 없는 거 아닌가요??
미적 너무 오랜만이라 헷갈리네요 ㅠㅠ
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양변 미분해보세요
아닌가
맞내요 이거
g'(0)=0이면 g(x)가 왜 상수인지 알려주실수잇으신가요
g'(0)=0인데
그 외에는 미분계수가 0이 아니라면요??
아 헷갈리네..
충분조건이지 필요조건은 아닌거같은데,,,
아니네 맞네,,,씹
아니네 아닌데
원본 문제 보여주실 수 있나요?
오른쪽항이 0부터 2X까지라 N파이인거 아닌가요'
g(0)이 N파이가 아니면 g(x)-g(0)=2x라고 해도 좌변 우변이 같다는 보장이 없어요
사인제곱을 0부터 2X까지 적분한거랑 0.5파이부터 2X까지 적분한게 다르자나요
g가 1차함수라는 보장이 없어서
시작점이 달라도 얼마든지 적분 결과는 같게 만들 수 있긴 해요
위끝 아래끝 기준으로 좌변은 미지수, 우변은 상수가 나오게 두면 g가 2x+C 꼴로 나와야 함이 보이고, 우변의 한쪽 끝이 0으로 고정이니까 좌변도 f의 절편이 경계여야 함 즉 +n*pi
인 것 같네요
아 2x+C가 아니어도 되나오류 맞는 것 같네요
함수 h(x)=1/2(x-sinx*cosx)에 대해 h'(x)=sin^2(x)니까
h(g(x))-h(g(0)) = h(2x)-h(0)이 성립하고, 이때 h(x)는 일대일대응이니 역함수가 존재해서 임의의 g(0)에 대해 g(x)=h-1(h(2x)+h(g(0)))과 같이 g(x)를 정의할 수 있어요
물론 g(0)=npi가 아니면 g'(0)=0이고요
사진은 g(0)=pi/2인 케이스에서 g(x)의 그래프에요
생각해보니 원본 문제에서는 g'(x)가 나타나는데, 이런 식으로 정의되면 특정 점에서 약간 x^1/3 그래프랑 비슷한 형식으로 미분계수가 발산하는 문제가 있긴 하네요
그렇다고 미분가능이라 명시된 건 아니라서, 여러모로 애매하긴 해요
검토가 안된 문제같네여...
선생님 답변 정말 감사합니다 ㅠㅠ
뭔가 이상한건 느꼈는데
현우진 쌤 교재라서 해설이 무조건 맞을 줄 알았네요
감사합니다!
잘 읽었습니다.
의문이 드는 것은
제가 애초에 질문한 이유가 g(0)=0이 아닐 경우에도 성립하는지 궁금해서 였는데,
선생님의 증명에서는
f(g(x))=0 이면 f(2x)=0 인것을 이용하셨네요.
물론 맞는 말이긴 하지만,
g’(x)=0이어도 f(2x)=0이 됩니다.
그렇다면 f(g(x))=0과 f(2x)=0은 필요충분조건이 될 수 없지 않나요?
g'(x)f(g(x))=2f(2x)이므로, f(g(x))=0이면 f(2x)=0이지만, f(2x)=0이면, f(g(x))=0일 수도 있고, g'(x)=0일 수도 있기에, 필자는 f(g(x))=0의 해와 f(2x)=0의 해가 일치한다는 걸 증명함. f(g(x))=0→f(2x)=0과 f(2x)=0→f(g(x))=0을 각각 증명해 f(g(x))=0⇔f(2x)=0을 도출한 게 아니라, f(g(x))=0→f(2x)=0와 추가적인 증명을 이용해 f(g(x))=0의 해와 f(2x)=0의 해를 구했고, 두 해가 일치했기에 f(g(x))=0⇔f(2x)=0이 도출된 거임