-수II, [미소변화율을 논함]

와 이거 대박이네 ㅋㅋㅋㅋㅋㅌㅋㅋㅋㅋㅋ

칼을 간 칼럼인데 묻히면.. 좀 슬플지도요

(대충 이궈궈던 ~ 콘)

[망해]

미소녀를 논함 ㄷㄷ

이게 맞다

좋아요 누르고가용
연쌤은 수학선생님도 엄청 잘 어울려요

응원 정말로 감사드려요 선생님 :)

감사합니다..!

넓이비 1:2를 찾는다길래 엥 넓이 같아야 한단 거 아니었나...? 착각해서 계속보고 있었네 ㅋㅋㅋㅋㅜㅜㅜ
맛있네요 이거

오타 맛 -> 멋이죠..?

오타 아닐걸용..

이해 못 했는데 멋있어서 좋아요 눌러드려요

앗..! 저 아이디어는 미적분 선택자시라면, 구분구적법을 생각하시면 되어요!
조금 고민하더라도 얻어가면 정말 이로운 내용일 거에요 :)
응원 감사드려요 선생님!

아 1:1 인데, 통으로 봐서 1:2로 본거에요..!
오해의 여지가 있으니 수정하겠습니다

*넓이 비가 1:1일때 , 작은 삼각형 : 큰 삼각형은 1:2 이고*로 추가했어요!

죄송한데 넓이비가 1:1이면 삼각형의 넓이 비가 1:2가 되는 이유를 알수 있을까요,?

dA의 넓이 : dA+dB의 넓이가 1:2라는 뜻이었는데.. 제가 국어를 좀 못하는군요.. ㅠㅠ
조금 더 수정해보겠습니다

제가 국어를 못해서 그렇네요 ㅠㅠ 죄송합니다

이런 느낌!

ㄹㅇ

어렵고 멋지네요

도움이 되었다면 저야말로 감사드려요!

권경수가 가르쳐줬었는데..

백가인의 개인교습

(100점 이모티콘)

저는 고3때 수II쌤이 이런거 많이 알려주셔서 정말 배우면서 신기했던 기억이 나네요..!
저도 경수쌤 기하는 꼭 들어보고 싶었는데 아쉽게도 기하 강의는 안하시더군요.. ㅠ

상반기에 특강식으로 열었었아요 ㅠㅠ

아앗..상반기엔 제가 학교에 있었어서

오

도움이 되었다니 저야말로 감사드려요 :)
저도 이 문제 정말 신기해서 스크랩 해 둔 기억이 나네요 ㅎㅎ

오호라,,,이래야 수학을 자ㅏㄹ하는거군,,,

마지막 처리가 이해가 진짜 하나도 안 되네 내일 정리해서 질문해야겠다

고민하시고 언제든지 질문 주세요!

저런 거는 기본이죠 ㅋ

이미 알고읶지만 개추

비슷한데 다른거 대칭성까지 쓰는 좋은 문제

쉠 근데 궁금한게, da=db 인 지점이 극소라는것까진 이해했는데,
그러면 c가 d랑 원점의 중점이어야 da=db 아닌가요
아마 제가 이해를 못한거같은데 삼각형 넓이가 갑자기 왜나오는건가요

저도 이게 궁금했음요

역시 현역 동지..

만약 x축에 평행한 직선 y=k라면 선생님 말처럼 1차원 길이로 미소변화율이 측정되지만,
Y=kx의 경우 항상 0,0을 지나면서 2차원적으로 움직이기에, 1차원적 길이로는 넓이 변화를 모두 포괄하지 못하게 됩니다!
dA 부분이 고정점 0,0에 가까워 k가 움직임에 따라 조금, dB는 고정점에서 멀어 많이 변하는 것 처럼요

아하 배운적은없지만 먼말인지는 이해햇어여

넓이 미분값이 길이니까 길이가 서로같을때 넓이가 최소란소리죠?? ㄷㄷ 저거 생 노가다했었는데 유익하네요

미소변화율이 길이일때도, 넓이일때도 있어 조금은 주의가 필요하지만, 전체적으로는 맞아요!
저야말로 도움이 되었다면 기뻐요 :D

캬

이궈궈던 ~

나는 이홍에게 이렇게 말했다. “너는 f(x)의 실근이 한 개라고 생각하느냐? f(x)의 실근은 한 개가 아니다. 너는 f(x)의 실근이 한 개가 아니기를 바라느냐? f(x)의 실근이 두개나 세 개가 아닌 것은 아니다. 그렇다면 f(x)의 실근이 두개나 세 개이고, 도리어 f(x)의 실근이 한 개가 아니라는 말은 무슨 근거로 할까? 함수 f(x)에 대하여 f(k-1)f(k+1)<0을 만족시키는 정수 k가 존재하지 않는다는 데서 연유한다.

f(x)의 실근이 한 개라고 생각하는 사람에게는 f(x)의 실근이 한 개라고 치자. 그렇다면 f(x)의 실근이 한 개이지만 f(t)f(t+2)<0인 정수 t가 존재하지 않는 f(x)가 존재한다고 할 수 있다.

그 말이 옳을까? 따라서, f(x)의 실근은 어디서 나오겠느냐? f(x)가 감소하는 구간에서 한 개, 증가하는 구간에서 두 개가 나온다. f(x)가 구간 (-1/4, 1/4)에서 증가하지 못하고, 그 뒤로는 감소하지 못하며, f(x)는 x=0에서 정수 근을 안 가지지 못하며, 구간 (0,1/4)에서 증가하지 못한다.


구간(0,1/4)에서 감소하므로 x>0인 실근이 안 존재하지 못하고, 연속되지 않은 정수 근을 갖지 못하며, f(1)의 값이 0보다 작거나 같지 못하면, f(-1) 또한 0보다 작지 못한다.

x=-1에서 정수 근을 안 가지지 못하고, f'(-1/4)=-1/4과 f(1/4)<0을 동시에 만족시키는 f(x)가 존재하지 못한다. 그래서 f(1)의 값이 0보다 작거나 같지 못한 f(x)가 되면, 어버이에게는 효심을 잊어버리고, 임금에게는 충성심을 잊어버리며, 부모를 잃고서는 슬픔을 잊어버리고, 제사를 지내면서 정성스러운 마음을 잊어버린다. 물건을 주고받을 때 의로움을 잊고, 나아가고 물러날 때 예의를 잊으며, 낮은 지위에 있으면서 제 분수를 잊고, 이해의 갈림길에서 지켜야 할 도리를 잊는다.

f(1)가 0보다 작거나 같다면, f(1)의 값은 0이 될 수밖에 없다. f(x)의 식이 x(x-미정(未定))(x-1)이 되며, 未定의 값은 -1이상이고 1 이하이다. 未定이 0 이상이라면 f’(-1/4)의 값이 0보다 작을 수 없게 되고, f’(-1/4)의 값이 0보다 작을 수 없기 때문에 문제의 조건을 더더욱 잊는다. 그렇기 때문에 未定의 값이 -1 이상 0 이하이게 되고, f’(-1/4)의 값이 -1/4이 되고, 남들이 풀지 못해 질시의 눈길을 보내며, 귀신이 풀지 못해 재앙을 내린다.

그러므로 f(x)의 근이 0과 1 그리고 未定인 근 하나라는 것을 아는 사람은 f(x)의 일반식을 x(x-未定)(x-1)으로 세울 능력이 있다. f(x)의 일반식을 x(x-未定)(x-1)으로 세우는 사람은, f’(-1/4)=-1/4에서 未定의 값을 -5/8으로 구하고 f(8)의 값을 483으로 안 도출해내지 않는다.” - 유한준

제목보고 생각난 거..

2023 6모였나 9모였나 20번 이렇게 시험장에서 풀었던 기억이 있네요 그땐 느낌대로 했었는데 원리?를 알게되니까 좋네요 ㅋㅋ

앗 6모 20도 글에서 언급하셨었네요;;
빠르게 보다가 놓쳤네요 쩝
좋은글 잘보고갑니다~

옛 교육청 30번으로 나왔던거 미적에 자주나오는데
수투에도 이렇게 나올수 잇군뇨...

이런 미소변화율 쓰는 문제가 은근히 재밌죠 ㅋㅋ
개인적으로 마음에 드는 문제 유형이라고 생각합니다

아 일반4점이엿나 기억이…

23.06.20, 나형 언젠가.. 이차함수 뒤집힌거 있어요

처음 볼 때 생각을 하긴 했는데 결국 답까지 도출하지 못하고 계산풀이로 했네요.. 이런 풀이 해 본 경험은 다들 있어도 정리가 안되면 결국 자유롭게 구사하지 못하고 그때그때의 운?인데 이런 글 좋네요

ㄷㄷㄷㄷ

|f(x)-f(k)|의 부정적분 문제에서 넓이의 최대/최소를 만드는 k를 찾을 때에도 비슷한 관점을 쓸 수 있더라고요
k에 따라 변하는 면적의 밑변? 길이를 변화율로 생각하면 좀 직관적으로 보입니다

저는 보자마자 넓이 공식이 생각났네요
이제 넓이의 변화는 미소 변화율의 관점도 보아야겠군요. 감사합니다.

(100점 이모티콘)
헉..! 넓이함수를 직접 호출할땐 선생님 방법이 더 효과적인 것 같아요!
좋은 풀이 공유 감사드려요 :D

서울시 교육청이 가형시절이나 미적 30번에서 우려먹던 소재네요 ㅋㅋㅋ
맨날 혐육청 하면서 넘어갔는데 이참에 기억해놔야겠어요 감사합니다

이거 드릴1 수2에 있었는데 드릴드 만들면서 사라진 문제 있어요 ㅋㅋㅋ
개어려웠는데

알지오매스 인가요 ㄷㄷ

지오지브라 그래픽 계산기에요 !
오래 써서 그런지 이게 전 제일 편하더군요

이가 미적분 선택자만 이해가능한건가요??

가형 틀딱시절 아이디어네
요새 이거 안 가르치나요

기울기 말고 그냥 2-k:2+k = 1:root(2) 로 하면 안되나요?

기하 100 ㄹㅈㄷㄱㅁ

개쩐다

변화량을 부채꼴로 해석하고 각이랑 1/2는 식에 공통으로 들어갈테니 무시하면 EC^2=ED^2-EC^2
따라서 2EC^2=ED^2, sqrt(2)EC=ED라고 생각할 수도 있을 것 같습니다

부채꼴로도 볼 수 있군요!!
새로운 시각 제시해주셔서 감사드려요 선생님! :D

찾아보니 이런 게 있네요...

굉장히 잘 읽었습니다:) 직관적으로 들었던 호기심이었는데 마침 잘 설명해주셔서 배워갑니다

저야말로 도움이 되었다니 기쁘네요!
감사합니다 선생님 :)

저 dA dB 부분 그림 보니 극좌표에서의 적분이 생각나네요 ㅋㅋㅋㅋ 바로 위 댓글에도 어떤 의뱃 분이 남겨주셨군요

저는 공식 해설대로 아래와 같이 풀었습니다!

[문제 처음 봤을 때 사고과정]
1. 절댓값이 씌워져 있으니 구간 별로 나누어 식을 작성

2. '그림과 같이'라고 했으니 두 함수 그래프의 교점의 x좌표를 작은 것부터 크기 순으로 0, alpha, beta라 설정. 이때 -(alpha)^2+2(alpha)=k(alpha)와 (beta)^2-2(beta)=k(beta)를 작성해두고

3. 두 부분의 넓이의 합은 구간 [0, alpha]에서 -x^2+2x-kx를 적분한 값과 구간 [alpha, 2]에서 kx-(-x^2+2x)를 적분한 값과 구간 [2, beta]에서 x^2-2x-kx를 적분한 값의 합과 같고

4. 계산해서 정리해주면 alpha=-k+2이고 beta=k+2임을 이용해서 -k^3/6+3k^2-2k+4/3을 얻을 수 있음

5. 그림에 따르면 k는 양의 실수이니 얻은 식을 k에 대해 미분해주면 k=6-4루트2 일 때 극소를 갖게 됨. 선지 대충 볼 때 맞는 듯하니 답을 체크

6. 두 그래프가 세 교점을 지니려면 k가 2보다 작아야 함. 6-4루트2<2<6+4루트2 이니 k=2일 때 넓이가 최소가 될 경우의 수는 고려할 필요가 없음을 확인



그런데 2023학년도 6월 20번을 미적분학의 기본 정리로 수식으로 풀어내는 것이 아닌 "약간씩 움직여가며 넓이 변화를 직관적으로 관찰한다"에 초점을 두고 바라보니...

2024학년도 수능 미적 28번과 확통 30번도 전자는 t값을 조금씩 변화시킬 때 g(t)값 변화에 따른 h(t)값 변화 관찰을, 후자는 t값을 조금씩 변화시킬 때 P값 변화 관찰을 중심으로 하는 풀이를 염두에 두고 출제했나 하는 생각이 드네요!! 기출 분석 더 열심히 해야겠습니다, 좋은 글 감사드립니다 선생님

아우.. 저야말로 읽어주셔서 정말 감사합니다
선생님 글 잘 읽고 있어요!
특히 22번 수식풀이 칼럼은 저도 따라서 여러번 풀어봤네요. :)

저렇게 미소변화 관찰하는 아이디어가 유용하게 쓰일 수 있는 문항이 나오는거 보면 선생님 말씀처럼 교수님들이 의도한 풀이방향이 아닐까 생각됩니다 :D

171130(가)
230620
231122
240628(미)
241130(확)
241128(미)

3문항을 더해 위 6개 문항 모두 "수식보다 그림 통한 관찰로 직관적인 상황 이해"가 더 도움이 될 수 있다고 설명할 수 있겠다 하는 생각이 들었습니다! 231122 수식풀이는 어떤 의대생 분께 배운 것을 가지고 정리만 해본 것이었는데 저도 참 신기해서 한동한 반복해 과정을 작성해보던 기억이 있네요 ㅋㅋㅋㅋ

안녕하세요.
혹시 이 풀이에 대한 수학적 분석글을
오르비에 올려도 될까요?

올렸습니다.

미소변화율을 관찰하는거라 da, da+db가 삼각형에 근사되는건가요..?
그냥 딱 도형을 봤을땐 뭐 이름없는 도형같은데 닮음비 1:2쓰신부분이 잘 이해 안가요!

위에 Central Dogma 님께서 말씀하신 것 처럼 부채꼴로 근사하는것도 방법이며, 이름없는 도형을 Solution 사진에 있는것 처럼 닮음삼각형으로 근사했습니다! (K가 아주 조금 미세하게 위로 올라가면 각이 아주 작은 부채꼴, or 삼각형 모양이 나와서요!)

저런 비슷한 방식으로 푸는걸 축과 평행한 직선이 움직일때 넓이비교를 길이에 근사해서 푸는거는 잘 써왔는데 악연님 방식으로 '넓이' 그자체를 분석하는거로 바라보면 모든 상황에 적용이 가능한건가요?

좋은 관점 배워갑니다 수능에 써먹을수 있으면 좋겠네요

문제의 발문이 넓이, 적분값이라면 넓이함수의 미소변화율을 관찰하는 것과 직접 함수를 구해 미분하는것이 동등합니다 , 다만 어디까지나 근사를 하는 과정이 들어가게 되므로 명확한 넓이 값을 구할 수는 없어요. 선생님께 도움이 되었다니 저야말로 기뻐요 :)

잘 읽었습니다만 “Y=kx가 위로 움직인다고 할 때, 사진에서 더 움직여도 여전히 감소하는 넓이 dA가 증가하는 넓이 dB보다 크다는것“ 을 어떻게 알 수 있나요? 그리고 이것을 통해 넓이 함수가 감소인것을 어떻게 알 수 있나요? ㅠㅠ

dA와 dB의 넓이는 닮음삼각형, 혹은 부채꼴로 근사하여 (빨간,파란 형광펜 부분) 넓이를 비교한 것이고, 총 넓이함수를 밑빠진 독에 물붓는거에 비유하자면 감소량 dA는 물이 빠지는 양, 증가량 dB는 물이 늘어나는 양인데 dA>dB면 항아리(넓이함수)속 물 양은 감소합니다! :)

저야말로 도움이 되었다면 기쁘네요 :)