[칼럼]논술에서도 쓸일 없는 테일러 급수 증명법 (ver.고등학생)

첫 글 쓴지 얼마 안되서 두번째 글을 써보네요... 그리고 이륙 지원해주신 분들 모두 감사합니다!

제목대로 테일러 급수는 사실 논술에서도 써먹을 기회 자체를 거의 주지 않습니다... 하지만 난 극한 문제를 풀 때 테일러 급수 매번 쓰면서 너무 찝찝했다! 하시는 분들은 한번쯤 읽어 보시면 좋을 것 같습니다.

테일러 급수란 초월함수를 다항함수의 합으로 나타내는 방법입니다. 예를 들자면 

과 같은 식의 방정식입니다. 이를 전개하면 

과 같은 모양이죠. 여기서 우리가 주로 쓰는 부분은 이차항 이상의 부분을 싹 다 잘라내고 

로 근사한 부분입니다. x가 0에 가까워질수록 1차항보단 2차항 이상의 부분의 오차가 매우매우매우 작아지기 때문에 이렇게 근사할 수 있는 것입니다.

그럼 지금부터 테일러 급수의 증명을 간단하게 적어 볼게요.

급수로 구하고자 하는 함수를 f라 둘게요. 고등학교 과정에서 배우는 모든 초월함수는 무한히 미분 가능하니 f도 무한히 미분 가능하다고 두죠. 그러면 미적분의 기본정리에 의해

가 성립합니다.

위 식을 부분적분하는데 u=f'(t), v'=1로 두고 적분상수 C=-x로 두면 다음과 같은 전개가 가능해집니다.

v'=1이면 v를 적분하면 t+C가 나오죠. 여기서 적분할 인자는 t이기 때문에 적분상수를 x로 둘 수 있게 됩니다.

자. 이번엔 오른쪽의 (t-x)f''(t)를 다시 부분적분해 보겠습니다.

여기서 f 위의 괄호 안의 숫자는 f를 미분한 횟수를 표현하는 방법 중 하나입니다. '(dot)을 많이 찍다 보면 갯수 세기가 불편하잖아요?

한번 더 전개하면

이를 계속 반복하다 보면 이러한 규칙이 생깁니다.

이렇게 다 더하면

라는 식이 나옵니다.

함수 f는 무한히 미분이 가능한 함수라 가정했고 대부분의 초월함수가 실제로 그 조건을 만족하므로 n은 무한히 커질 수 있겠죠?

이때 어지간한 초월함수라면 n!의 증가량이 분자 부분((t-x)^n f^(n)(t))의 증가량보다 아득히 크기 때문에 마지막 적분 기호는 n이 무한대로 발산한다면 0으로 수렴합니다.

(이 부분은 대학 가서 적분의 평균값 정리를 배워야 자세히 설명이 가능한데... 일단은 이렇게 대충 짚고 넘어갑시다)

따라서 f(x)는 다음과 같이 새롭게 정의할 수 있습니다.

이것이 그 탈 많은 테일러 급수의 유도 과정입니다.

그럼 이제 실제로 자주 쓰는 초월함수 몇 개를 넣어서 한번 계산해 보죠.

먼저 f(x)=e^x입니다.

f'(x)=e^x, f''(x)=e^x, ... 이므로 a=0을 대입해 정리하면

가 됩니다.

이번엔 로그함수 f(x) = ln(1+x)입니다.

f'(x) = 1/(1+x), f''(x) = - 1/(1+x)^2, f'''(x) = 2/(1+x)^3, ... 이므로 a=0을 대입해 정리하면

가 됩니다.

다음은 사인함수, 코사인함수를 해 볼까요?

이번에도 a=0을 대입하고 미분해서 계산해 보면

나머지 삼각함수들은 사인, 코사인처럼 직접 유도되는 것이 아니라 다른 방법으로 유도합니다. 그래서 그 과정 설명은 못 해드리고... 가장 자주 쓰이는 탄젠트의 식만 짧게 보여드리겠습니다.

네... 이 친구의 계수는 얼핏 보면 불규칙해 보입니다. 이는 나중에 베르누이 수열이라는 걸 배운 뒤에 알아보시는 걸로...

다른 초월함수들은 고등학교 과정에선 거의 안 배우죠? 그러니 초월함수 탐색은 여기까지 하겠습니다. 수식 넣기 힘들어요

마지막으로 테일러 급수는 대체 어디까지 근사해서 써야 하느냐! 에 관한 내용을 조금이나마 적겠습니다.

대부분의 극한 문제에서는 분모 분자가 같은 차수가 되도록 문제를 만듭니다. 이러한 경우에는 보통 1차항(코사인의 경우는 2차항)까지만 근사하면 답이 나옵니다.

하지만 간혹가다 분자에는 사인 1개 x 1개나 탄젠트 1개 x 1개 줘 놓고는 분모에선 3차항을 준다던가... 하는 경우가 있습니다.

뭐 이런식으로 말이죠. 이때는 분모와 차수가 같아지는 차수까지 근사를 해 주셔야 합니다. 가령 위의 식에서는 사인을 3차까지 근사해서 답은 1/6이 나옵니다.

여기까지 테일러 급수의 증명과 활용시 주의점에 대해 부족하게나마 적어 봤습니다. 이걸 보고 수학에 흥미가 생기신다면 좋겠네요... 긴 글 읽어주셔서 감사합니다!