풀 가치가 있는 고2 학력평가 문제
2018학년도 11월 고2 학력평가 가형 문제입니다.
이 문제를 풀어봅시다.
음... 일단 쉽게 접근하려면 x<a이거나 x>b일 때, g(x)를 미분하면 f(x)가 나오는데...
이러한 경우가 나와야겠네요.
함수 f(x)를 미분하면
여기서 f'(1)=f'(3)=0입니다.
함수 g'(x)=f(x)의 그래프는 이렇게 생겼겠네요.
방정식 f(x)=0의 서로 다른 실근이 1개인지, 2개인지, 3개인지로 나눠서 경우를 살펴봅시다.
일단 실근이 1개인 경우를 봅시다.
방정식 f(x)=0의 실근이 하나라면, g(x)에서 c의 값을 어떻게 조절해도 g(x)가 한 점에서만 미분가능하지 않도록 할 수가 없습니다. 그러므로 실근이 1개인 경우는 조건에 맞지 않습니다.
방정식 f(x)=0의 서로 다른 실근이 2개인 경우에는 위의 그림과 같을 때 조건을 만족합니다.
일단 f(1)=0이라면 k=2이니
가 되고, c의 값을 구하면
k=2, a=1, b=5, c=-5이므로 k+a+b+c=3입니다.
일단 ②가 정답 후보가 될 수 있겠네요.
이번에는 f(3)=0인 경우를 볼게요. 이때 k=0이니
k=0, a=-1, b=3, c=27이니 k+a+b+c=29입니다.
방정식 f(x)=0이 서로 다른 세 실근을 갖는 경우를 봅시다.
a, b가 최소가 되도록 한다면, 이런 경우를 생각해야 합니다.
그런데 이런 경우를 보려고 하니까 너무 복잡해 보입니다...
그러니, 좀 기출에 자주 나온 개형을 떠올려 봅시다.
네. 바로 사차함수의 두 극솟값이 서로 같은 경우입니다.
이때는 f(2)=0이어야 하므로 k=1입니다.
k=1, a=2-루트6, b=2, c=8이니 k+a+b+c=13-루트6입니다.
일단 맨 앞에서 구했던, k=2, a=1, b=5, c=-5, 즉 k+a+b+c=3이 최소라고 할 수 있겠네요.
정답 : ②
(문제를 다시 보니 k가 정수라고 했구나...)
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