칼럼)미분방정식을 이용해서 함수를 쉽게 구해보자.
맨날 여기서 공대오지마라 의치한가라같은 뻘글하고 떡밥글만
쓴 사람이지만 이번에는 그래도 지금까지 내가 썼던 글 중에서
어쩌면 가장 유용한 글을 써보고자 합니다.
우선 이 글을 쓰기 전에 미분방정식 관련 좋은 칼럼이 있어서
링크 첨부합니다.
지금 쓰는 칼럼같은 경우
내용이 매우 어려울 수 있으므로 깊은 이해보다는 이런게 있다라는 수단의
수준으로만 설명하고자 합니다. 또한 이 방법은 최후의 수단이며
고등 교과 수준으로 풀어내는 것이 가장 중요합니다.
아래와 같은 미분방정식이 있습니다. 이는 연세대학교 미래캠퍼스
2022년 논술문제에서 따왔습니다.
이것을 한번 풀어보죠.
이렇게 정리하고 양변 동시에 적분한다면
이라는 결과가 나오네요. 그리고 f(0)=1/2라는 경계조건이 있으므로 C=1/2이네요.
이 되네요.
근데 이거 갑자기 못떠오를 수도 있잖아요? 그럴때는 어떻게 풀어야 할까요?
그럴 경우에 도움이 되는 방법이 있습니다.
우선 이 방정식을 봅시다.
이 방정식 푸는 법은 다들 아실 겁니다. 저 링크를 타도 푸는 방법이 나옵니다만 알려드리자면
와 같이 정리될 것이고 여기서 양변을 적분해 줍시다. 적분상수에 유의합시다. 매우 중요합니다.
와 같이 정리가 되네요. e의 C제곱을 간단하게 A라고 나타냈습니다.
일단 주어진 방정식을 풀기 위한 첫 번째 과정이 끝났습니다.
그런데 이거 구해서 뭣에다가 써먹냐고요?
나중에 다시 설명해 드리겠으니 계속 따라와 주시면 되겠습니다.
이젠 아래 방정식을 다시 한 번 살펴봅시다.
여기서 f(x)가 삼각함수와 지수함수의 곱의 꼴로 이루어져 있어야
대입하고 정리해볼 때 우변처럼 나올 수 있다는 생각을 한번 해봅시다.
이것을 미정계수법이라고 하는데 사실 엄밀하다기 보다는 매우 직관적인 방법입니다.
위의 말을 간단하게 수식으로 표현해 보았습니다.
이제는 이 f(x)를 직접 대입해서 항등식을 세워 봅시다.
이런 항등식이 나오게 된다는 것을 직접 대입함으로써 확인할 수 있습니다.
여기서 이젠 a와 b의 값을 구하게 된다면 각각 1, 0이 나올 것입니다.
그러면 이젠 f(x)가 나오겠죠.
f(x)를 구했더니 저런 꼴이 나오네요. 저걸 다시 방정식에다가 대입해 봤을때 좌변과 우변이 서로
같아질 것입니다.
그렇다면 우리는 이 방정식을 풀었다고 할 수 있을까요?
답은 그렇지 않습니다. 왜냐하면 이렇게 구한 저 f(x)가 저 방정식의 유일한 해라고 단정할 수가 없기 때문입니다.
그러면 우리는 저 방정식의 해를 어떻게 표현해야 할까요?
맨 처음에 풀었던 방정식이 이에 대해서 놀라운 정답을 제공합니다.
이 방정식을 다시 한번 보시죠. 주어진 미분방정식에다가 대입해 봅시다. 그러면 좌변이 0이 될 것입니다.
그렇기에 Ae^x라는 항은 추가를 하더라도 방정식의 결과에 아무런 영향을 주지 않겠네요. 이러한 것을 우리는
'일반해' 라고 하기로 하였습니다.
그러면 f(x)를 이렇게 표현해도 방정식을 만족하겠네요.
이 f(x)가 위 방정식의 최종 해가 되는 것입니다.
그러면 이제는 상수 A를 구할 차례입니다. 이 문제에서는 f(0)=1/2라는 조건이 있었네요.
이를 대입 시 A=1/2가 될 것입니다.
하지만 이러한 방법에는 한계점이 존재합니다.
이렇게 f'(x)나 f(x)에 제곱같은 것이 붙어있을 때에는 쓸 수가 없고
처럼 상수계수가 붙어있는 경우에만 사용할 수 있다는 것입니다.
마지막으로 이 방법은 최후의 방법이기에 당연히 고교 수준으로 푸는 것이 가장 중요하다는 말을
끝으로 떠납니다.
맺는말) 공대오지마라 의치한가라
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
다른것도 할거짘쯔많은데 3월 개학 전 한 번 풀고 가게용
-
내일해야지..
-
계좌로 즉시쏴줌
-
전 순자산 10억 넘어가면 진짜 전업투자자 할 생각입니다 근데 이런식이면 나이먹으면...
-
시발 어지럽노 4
소주 3병 ㅋㅋㅋㅋ
-
없..겠지?
-
하하하
-
제 마음데로 사고 팔 수 있는겁니더
-
반갑다.
-
옾챗방나갓는디?ㅋㅋ
-
모교에서 보기는 좀 많이 불편한데 재종을 바로 안들어가니 어디서봐야함?
-
아오 10
아카
-
야로나 크아아악
-
규격 안맞는 레어 화질 떨어지는 레어 중복되는 레어 겹치는 레어 (한 인물/사물에...
-
레어테스트 0
뭉탱이
-
인생 진짜 모르네
-
-
공스타에 올리는거 좀 역하네;
-
경제적인 사정 때문에 메가나 대성패스를 추가로 끊을 수는 없고 이투스랑 ebs...
-
약대인가요 치대인가
-
레어 삽니다 9
항공사 Lufthansa 로고 삽니다 쪽지주세요
-
큰일난것같음 10
걍 주접 지랄아니고 진심으로 좋아하는 쌤때문에 공부에 집중안됨… 이거 어떻게해?...
-
중간공인가 중앙대 중대 높공 에시공
-
-
처벌로 병역 1년 6개월형을 선고한다네요... 하
-
뭔 개소리지 하는 제목 보이면 항상 똑같은 사람이네
-
이대레어뺏어옴 3
-
헬스터디 남자분 수학 테스트 문제 이상하지 않나요? 2
적분 안쪽이 f(x)가 아니라 f(t)여야하는거 아닌가 근데 또 풀이는 관성적으로...
-
맞팔 구걸하기 2
할 수 있는게 구걸밖에 없습니다...
-
아직까지 술마시고 오바이트는 해본 적이 없는데 다행일지도..
-
당장 시정조치 바랍니다.
-
안녕하세요 올해 고3올라가고 현재 국어 강민철쌤 강기본 독서 문학, 강기분 나가고...
-
고대 복전 전과 2
영어교육과인데 사범대학은 복전 전과 둘다 아예 불가능한가용..?
-
지금 외고 다니고 있는 예비 고2인데, 확신이 없어서 질문합니다. 현 수학 내신은...
-
이 기분은 어떨까 이게 상상이 아니라 현실이구나
-
할 얘기도 떨어지고 요즘 시국이 시국인지라 계엄이랑 부정선거 관련해서 제 의견 좀...
-
레어 안 사지네 4
걍 없는 채로 살게요
-
티원 승리~ 2
캬 지린다 진짜루
-
오후 5시에 가입해서 그런가 아직 안됏는데 연휴동안 에타 못보면 뭔 낙으로 사냐
-
굿나잇 2
좋은 밤 되길
-
강아지가 이불 위에 앉았는데 그 자국 그대로 노란색 얼룩짐... 귀찮아서 안...
-
아ㅅㅂ 4
내 람보르기니 레어 누가 쎄볐냐
-
설 전에 합격증 제발 내주라..
-
내만원어디갔어 0
10만덕만원주고샀는데 왜경희대가아니라이상한마이맥달려있는데
-
의사 현실이 어떻다는건지....알려나주던가 정 안되면 탈조선 하지뭐....반수해도...
-
CD플레이어 돌리니까 음악이 아니고 대사만 나오길래 하. .. 내 돈
-
가군에 거기넣지말고 소신있게 연치넣을걸 흑흑 연치 올해 컷 어떻게됨?
-
시립대 2
발표하라 발표하라 시립대 2개 넣은 나는 쫄려서 뒤지겠다
-
궁금하다
-
아 뭐야 비켜 !
미분방정식 관련 글 예전에 누가 올리셨는데링크보시면됩니다.
감사합니다엄마! 난 커서 랩노가 될래요! 엄마! 난 커서 랩노가 될래요! 엄마! 난 커서 랩노가 될래요! 엄마! 난 커서 랩노가 될래요! 엄마! 난 커서 랩노가 될래요! 엄마! 난 커서 랩노가 될래요! 엄마! 난 커서 랩노가 될래요! 엄마! 난 커서 랩노가 될래요! 엄마! 난 커서 랩노가 될래요! 엄마! 난 커서 랩노가 될래요! 엄마! 난 커서 랩노가 될래요! 엄마! 난 커서 랩노가 될래요! 엄마! 난 커서 랩노가 될래요! 엄마! 난 커서 랩노가 될래요! 엄마! 난 커서 랩노가 될래요! 엄마! 난 커서 랩노가 될래요!
즐거운 함수방정식의 세계로 떠나요
요약)dy/dx를 분수 취급하면 정신건강에 이롭다
수포자라서 모르겟다..
의치한 가지마라 무조건 스카이 가라
이 글을 보고 미적분으로 선택했습니다.
이 글을 보고 확통을 선택했습니다
1/y 적분하면 ln|y| 아닌가요?
절댓값
그러네여 ㅎㅎ 죄송합니다
TMI)
고등과정에선 절댓값을 붙이지만....
복소해석학의 관점에서 계산을 하면 상관없습니다.
약간의 오일러 공식과 함께 계산을 곁들이면
고등과정에서의 case를 나눈 결과과 같아집니다.
대략) y=Ae^x에서 A가 양수뿐만 아닌 실수인 이유라고 생각하시면 됩니다.
ptsd...ㅋㅋㅋㅋㅋ 잊고살았던 공수의 기억
공학수학의 향기가 느껴지는 글이네요
미방 에쁠받아서 좋았는데 이제 다른데 가면 날아갈성적 ㅅ;
대학입시에서 이런 스킬들은 잡스킬. 딱 그정도.