수학 질문.. 미분 가능성과 연속에 대하여(수학 고수님들 도와주세요)

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f(x)=x^2sin1/x (x가 0이 아닐 때)
=0 (x=0)

에서 f`(x)의 x=0에서의 연속성을 알아보고자 합니다.

먼저 정의를 사용했을 때 limx->0 {f(x)-f(0)}/(x-0) = 0 입니다.

f`(x)=2xsin1/x - cos1/x 가 됩니다. limx->0 f`(x) 는 존재하지 않습니다. 진동하기 때문이죠.

따라서 f`(x)는 x=0에서 불연속입니다.

여기까지는 이해가 갑니다.

그런데 제가 궁금한 점은

limx->0 {f(x)-f(0)}/(x-0) = 0 을 구할 때 좌변의 식은 사실

1. limx->+0 {f(x)-f(0)}/(x-0), 2. limx->-0 {f(x)-f(0)}/(x-0) 을 합친 것으로 알고 있습니다.

1.식은 사실 fx의 우미분계수 이고, 마찬가지로 2.식은 fx의 좌미분계수 아닙니까?

따라서 위 내용은 x=0에서의 좌우미분계수가 같다고 해석했습니다.

그런데 f(x)=f1(x) (x가 p이상일 때) (p는 상수입니다.)
=f2(x) (x<p)
라고 하고 fx가 x=p에서 미분 가능하다고 하면

f1(p)=f2(p) , f`1(p)=f`2(p)를 만족해야 합니다.

그렇다면, 맨위에 제시된 함수 f(x)는 x=0일때 연속이므로, f`1(0)=f`2(0)만 확인해 준다면 f`(0)에서 미분 가능합니다.

그런데 사실상 f`1(0)은 x=0에서의 우미분계수, f`2(0)=0은 좌미분계수 이므로 두개가 서로 같다면

limx->0 f`(x)= f`(0) 이란 뜻 아닙니까? (f`(0)가 미분 가능하므로)그렇다면 f`(x)는 x=0에서 연속 이라고

생각되는데

네. 사실 f`(x)는 x=0에서 불연속입니다. 논리적으로 어디서 틀렸는지 모르겠습니다.

고수님들 알려주세요 ㅠㅠ(진짜 막써서 무슨 내용인지 못 알아보실수도 있음..)

--------------------------------------------------

즉, limx->+0 f1(x)-f1(0)/x-0 = f`1(0)
limx->-0 f2(x)-f2(0)/x-0 = f`2(0)

f`(0)= limx->0 fx - f0/x-0 = f`1(0)=f`2(0) (f`(0)을 구하는 정의에서 f`(0)의 좌미분계수와 우미분계수가

같아야 한다는 뜻.=>좌미분 계수와 우미분 계수가 같다면 limx->0 f`(x)가 존재하고 이 값이

f`(0)과 같아야함. 고로 f`(x)는 x=0에서 연속이라고 생각함 =>그런데 아님.. 뭐가 문제인가요?)

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두리둥둥이 · 510458 · 14/07/15 17:54 · MS 2017

제시하신 식은 도함수가 불연속이지만 미분계수가 존재하는 경우를 예로 들 때 자주 등장하는 식이네요.
말씀하신 부분 중
그런데 f(x)=f1(x) (x가 p이상일 때) (p는 상수입니다.)
=f2(x) (x

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hwani · 438455 · 14/07/15 18:53 · MS 2012

감사합니다

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솔로깡 · 330158 · 14/07/15 17:58

본문에서 잘못된 점.

1. [그렇다면, 맨위에 제시된 함수 f(x)는 x=0일때 연속이므로, f`1(0)=f`2(0)만 확인해 준다면 f`(0)에서 미분 가능합니다.] ㅡ> [그렇다면, 맨위에 제시된 함수 f(x)는 x=0일때 연속이므로, f`1(0)=f`2(0)만 확인해 준다면 x=0에서 미분 가능합니다.]

2. [좌미분 계수와 우미분 계수가 같다면 limx->0 f`(x)가 존재하고 이 값이 f`(0)과 같아야함.] ㅡ> 같아야 할 이유가 없습니다.

3. 좌미분계수와 우미분계수의 값이 동일하다고 하여, 해당 점에서 도함수의 연속이 보장되지 않습니다. 연속일 조건은 좌극한, 우극한의 값이 동일하고 그 극한값이 실제 그 점에서의 f(x)의 값과 동일해야 합니다. 좌극한 우극한만 같다고 해서 반드시 연속인 것은 아닙니다.

4. 제시해주신 상황에서 잘 이해가 가지 않는다면 이 글에 제시된 함수를 사례로 이해를 시도해보시기 바랍니다.

http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_function

그냥 지나쳐갈수도 있었을 의문에 대해서 답을 알고자 하는 자세가 매우 훌륭하다고 생각합니다. 부디 그 자세 잃지 않으셨으면 좋겠습니다.

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hwani · 438455 · 14/07/15 18:55 · MS 2012

감사합니다.
1.번은 잘못된 점을 알았습니다.

그런데 2번에서 limx->+0 f(x)-f(0)/x-0 을 우미분계수로 보면 안된다는 것인가요?

3.즉 limx->+0f`(x) 가 우미분계수가 아니라는 말씀이시죠?

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솔로깡 · 330158 · 14/07/15 19:27

우미분계수와 좌미분계수는 상관없습니다. 둘 다 맞아요.
도함수의 연속성이 궁금한거잖아요?

그럼 다음 요건을 봐야합니다.

1. 도함수의 좌극한과 우극한이 같다 ㅡ> 본문에서 확인하셨습니다.
2. 이 좌극한=우극한 의 값이, 실제 그 점에서의 도함수 값과 같다 ㅡ> 실제 그 점에서 도함수 값이 정의되지 않으므로 같다고 할 수 없습니다.

이 2번 과정을 빠트리고, 1번 과정으로만 연속성을 판단하셨기에 생긴 오류입니다.

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hwani · 438455 · 14/07/15 19:41 · MS 2012

회원에 의해 삭제된 댓글입니다.

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hwani · 438455 · 14/07/15 19:48 · MS 2012

ㅋㅋ... 이해된줄 알았는데 한 번만 더 여쭤볼게요..

무슨 말씀 하시는지는 이해가 갔습니다.

근데 제가 이해가 잘 안가서..ㅠㅠ

그런데 말씀하시는 좌극한=우극한 값이 같다는것이 실제 그점에서의 도함수 값과 같다는것 아닌가요?

왜냐하면,

limx->0 fx-f0/x-0 가 정의되기 때문이라고 생각합니다.

즉, 이 값이 정의된다는 뜻은 좌극한, 우극한이 같고 그 값이

존재한다는 뜻이니까요. 또한, 이 좌극한, 우극한이 으므로

f`(0)이 존재한다는 뜻 아닌가요? 고로

f'(0) = limx->+0 fx-f0/x-0 = limx->-0 fx-f0/x-0

아닌가요?

정말 감사합니다..!!

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솔로깡 · 330158 · 14/07/15 19:58

[즉, 이 값이 정의된다는 뜻은 좌극한, 우극한이 같고 그 값이 존재한다는 뜻이니까요.] ㅡ> 오개념입니다. 좌극한, 우극한이 존재하는 것과 그 점에서의 함숫값이 존재하는 것은 전혀 상관이 없습니다.

좌극한, 우극한은 존재하지만, 그 점에서의 함숫값이 존재하지 않거나 좌,우극한 값과 다르다면 해당 함수는 그 점에서 불연속입니다.

2013학년도 9월 평가원 가형 6번문제를 보시면 해당 함수의 예시가 나와있습니다. 좌극한, 우극한은 같고, 존재하지만 그 점에서의 함숫값이 좌극한, 우극한 값과 다릅니다.

즉, "잘 가다가, 어느 한 점에서 구멍이 나 있는 함수"의 개형을 생각해 보십시오. 좌극한, 우극한 값이 동일하지만, 그 점에서 함숫값은 정의되지 않습니다.

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hwani · 438455 · 14/07/15 20:09 · MS 2012

제 말 뜻은 함숫값이 존재한다는 것이 아니라 극한값이 존재한다는 것입니다.

미분계수의 정의가 평균변화율의 '극한값'인 것 처럼요

극한값(미분계수)이 존재하므로 그 좌미분계수와 우미분계수의 값이 같다는 것이었는데.. 제가 어디를 잘못보고있는것인지요
ㅠㅠ

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솔로깡 · 330158 · 14/07/15 20:24

연속일 조건

1. 좌극한, 우극한의 값이 존재한다.
2. 이 좌극한=우극한의 값과, 해당 점에서 함숫값이 동일하다.

미분가능일 조건

1. 연속이다
2. 좌미분계수와 우미분계수가 동일하다.

좌미분계수와 우미분계수가 존재하고 서로 같다고 하여 그 지점에서 미분가능한것도 아니고, "도함수의 연속성"이 판정되는 것도 아닙니다.

연속과 미분가능하다는 것은 서로 다른거예요.
사실 지금 님께서 뭐가 궁금한건지 파악을 못하고 있어요.

차라리 종이에 적어주셔서 다시 게시물 올려주시면 뭐가 궁금한건지 잘 알수 있을 것 같은데요.

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솔로깡 · 330158 · 14/07/15 20:29

[극한값(미분계수)이 존재하므로 그 좌미분계수와 우미분계수의 값이 같다는 것이었는데] ㅡ> 이 부분이 잘못된거예요.

도함수의 불연속을 따지려면, 도함수 자체의 좌극한, 우극한을 생각해야겠죠. 도함수 자체의 함숫값과 도함수 자체의 우극한, 좌극한이 같은 값을 가지는가? 이게 관건입니다.

원 함수의 좌극한, 좌미분계수, 우극한, 우미분계수는 '도함수의 연속'과는 전혀 관련이 없어요.

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hwani · 438455 · 14/07/15 20:58 · MS 2012

음.. 도함슈의 우극한과 우미분계수가 다른가가 의문이었습니다. 사진 찍은게 있는데 지금 못올려서 아쉽네요 감사합니다
밤에 집가서 올려보겠슴다!

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하플 · 505036 · 14/07/15 20:34 · MS 2014

미분 가능 하다는것과 도함수가 연속하는건 아무 상관없는 서로 다른 개념이에요

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hwani · 438455 · 14/07/15 20:38 · MS 2012

넵..그런데 그것이 수식으로 이해가 가지 않아 사진찍어올려보려구요

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hwani · 438455 · 14/07/15 20:42 · MS 2012

모르비 사진첨부기능 미아..

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