모르는 사람 은근 많은 n각형 내각의 합이 180(n-2)인 이유

예전 영과고 자소서 준비할 때 썼던 내용인데 모르는 친구들 많길래 써봅니다 재미로 봐주세여~

크게 3각형을 먼저 증명하고 4,5,++각형 증명하는 식으로 진행됩니다

i) 3각형 내각 합이 180

이런 모양의 삼각형 ABC가 있다고 해봅시다.

여기서 AB와 평행하고 C를 지나는 선을 그어봅시다. (C가 AB위에 있지 않으니 항상 일치하지 않고 존재하는 선입니다.)

그러면 엇각의 성질에 의해서(엇각은 동위각과 맞꼭지각으로 증명됩니다.)

삼각형의 세 내각이 한 직선 위에 모이게 되죠. 고로 삼각형의 내각의 합은 평각과 같은 180도가 됩니다.

ii) 4,5,6... 각형 180(n-2)

삼각형 증명을 보고 모르셨던 분들도 어느정도 감이 잡히셨을거 같네여

증명 방법이야 여럿이 있을 수 있겠지만 가장 인상 깊었던 증명 방법을 소개해드리겠습니다.

우선 n각형의 내부에 점을 하나 찍습니다. (단, n=>4)

그리고 n각형의 꼭짓점과 선분으로 잇습니다.

보이시나요?

n각형의 모서리와 새로 그어준 선분들이 모서리의 개수만큼 n개의 삼각형을 만듭니다.

이는 4,5,6...100각형이 되어도 항상 성립하죠.

이때 삼각형 내부 각의 합은 180임이 i에서 증명되었으니, n각형 내부의 점과 이루게 되는 모든 삼각형의 각의 크기의 합은 180*n이 됩니다.

이해가 가지 않으실까봐 4각형을 예시로 보여드리면

위 그림에서 그려진 모든 삼각형의 내각의 합 = 알파 + 베타 + 감마 + 델타 + k = 180*4가 되죠?

여기서 다각형 내각의 합만을 구하기 위해 180*4에서 k를 빼주게 되면, k는 항상 360도이므로

180*4-360이라는 식이 유도되게 됩니다.

이를 n각형에 적용시켜 볼까요?

180n(180도인 삼각형 n개) - 360(항상 중싱에 모이는 각 합은 360) = 180(n-2)

우리가 중학교 때 암기했던 공식이 나오게 됩니다.

분명히 간단한 내용인데도 설명하려니 힘드네요,,

그냥 재밌게 읽어 주시고

가끔씩 친구들한테 자랑할 기회 생기면 우려먹기 좋습니다~ㅎㅎ