미적분 문제 투척

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문제만 얻어 풀고 있어서 저도 2개 투척합니다~ 아래꺼는 예전에 냈던 건데 호응이 없어서.. 앞 문제는 비슷한 게 있고 뒷 문제는 완전히 자작입니다.

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syzy [418714]

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미푸른 · 413800 · 12/12/02 22:43 · MS 2018

6번문제 모르겟어요 ㅠㅠ 내접원 넓이 공식 이용하니까 타원 같기도하고 포물선 같기도 하고 .
힌트좀요 ㅠㅠ

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syzy · 418714 · 12/12/02 23:20 · MS 2012

타원 쌍곡선 포물선 등의 이차곡선이 아닐 거에요..ㅎ 함숫값을 구하거나 미분하고자 할 때 식이 꼭 양함수여야 할 필요는 없으니 식을 적당히만 간단히 하시고 풀어도 될 거 같아요~ 그리고 ㄷ에서 y=(1/4) x 를 y=(1/2) x로 바꿨어요.

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지니쨔응 · 383624 · 12/12/02 23:27 · MS 2011

오르비의 위.엄....또르르루루....ㅋㅋㅋ....ㅋ

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이미설전컴 · 261307 · 12/12/02 23:58 · MS 2008

ㄱㄴ이 6번답인가요? 점근선은 30도랑 150도 이차곡선이아닌 음함수 미분법 문제인듯?

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미푸른 · 413800 · 12/12/03 00:39 · MS 2018

헐 혹시 루트나오지 않았나요 ??
루트 처리하게 되게 껄끄럽던데 ...

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syzy · 418714 · 12/12/03 00:45 · MS 2012

넵 정답!!입니다. 점근선도 정확하세요. 풀어주셔서 고맙습니다^^ 미푸른님도요~

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이미설전컴 · 261307 · 12/12/03 02:41 · MS 2008

첫번째문제 자취가 x=Lcos@^3 , y=Lsin@^3 1사분면부분 맞나요?

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syzy · 418714 · 12/12/03 02:55 · MS 2012

네ㅎㅎ 실력이 출중하시다는..^^ 그 뒤는 어차피 노가다 계산이라 안 하셔도 괜찮을 듯 합니다~

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먼지바람 · 412960 · 12/12/03 04:04 · MS 2012

아... 윗문제 벌써 푸셨네요. ^^ 전 자고 내일 풀어보려고 생각하고 있었는데.....ㅠㅠ

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이미설전컴 · 261307 · 12/12/03 04:46 · MS 2008

계산했는데값이 무리수가나오네 ... 둘레는 3/2L +2L이고 5/32L^2*pi^2 으헠

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syzy · 418714 · 12/12/04 23:56 · MS 2012

둘레는 맞는데 부피가 어떤 분수 * L^3 pi 정도 나오지 않나요?ㅎㅎ 제가 틀렸을지도..ㅋ

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먼지바람 · 412960 · 12/12/04 22:11 · MS 2012

윗 문제 Astroid 인건 알겠는데.... envelope(포락선)을 이용한 방법말고 고교 수학의 수준에서 해결할 수 있는 방법은 아무리 고민을 해봐도 도무지 찾지를 못하겠네요. 방법이 있을까요? 제가 아는 방법은 envelope밖에는..... 혹시 다른 방법이 있으심 알려주심 감사하겠습니다. ^^;;

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syzy · 418714 · 12/12/04 23:00 · MS 2012

이미 전문적인 수준으로 다 알고 계시는 듯 하지만 고교 수준으로 한 번 풀어볼게요. 횔더 부등식 써서 하는 방법이 있는데 이게 사실상 envelope 이용하는 증명에서 하는 방식이니까 본질적으로 동일하고, 순수 고등 수준에서만 한다고 하면..

결국 x/a + y/b = 1이라는 선분(0<= x <=a)이 a^2 +b^2 = l^2 만족하면서(a,b>=0) 움직일 때 (x,y)의 자취니까, '고정된 x'에 대해서 생각해보면,
x/a + y/b = 1 만족하는 y의 범위를 구하면 되겠지요. (a,b가 변화할 때 y의 범위. a는 x부터 l까지 변화.)

y의 최솟값이 0임은 자명하고, y의 최댓값은, y = b(1- x/a) = 루트(l^2 -a^2) (1- x/a) 를 a에 대한 함수로 이해하고 미분해서 구할 수 있습니다.
dy/da = -a/루트(l^2 -a^2) * (1-x/a) + 루트(l^2 -a^2) (x/a^2 ) = 0. 풀어보면 a=(l^2 x)^(1/3) 이 나와서 이 a값일 때 y가 최대이고, 대입해보면
y = ( l - x^(2/3) ) ^(3/2) 이 나오는 것 같아요~

(b를 a에 대한 식으로 표현해서 미분해도 되지만 그대로 놔두고, a^2 +b^2 = l^2 --> a da + b db = 0 이용해서 계산하면 약간 더 간단할 수도 있고요.)
아랫 문제 훌륭한 풀이도 정성껏 올려주시고 여러 모로 고마워요!

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먼지바람 · 412960 · 12/12/04 23:39 · MS 2012

^^ 감사합니다. 저렇게 생각하면 되겠군요.^^ 고교수학의 경계에 아슬아슬하게 걸리면서 풀어 써주시는 것에 대해 감탄했습니다. 대단하시네요... ㅎㅎ

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syzy · 418714 · 12/12/04 23:53 · MS 2012

아 이거 민망하네요..ㅋ 먼지바람님이야말로 고수시면서..

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먼지바람 · 412960 · 12/12/06 00:10 · MS 2012

그런데 윗 문제에서 A와 l은 길이이고 B는 부피인데 (A-2l) pi 라면 차원이 맞지 않는데요? 뭔가 l의 세제곱의 식이 있어야 할 것 같은데요?

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syzy · 418714 · 12/12/06 00:30 · MS 2012

B = 어떤 숫자 * l^3 (m^3)
(A-2l)pi = 어떤 숫자 * l (m) (어떤 숫자에 pi도 포함시켜서 썼어요ㅋ 괄호 안은 단위.)

이면 단위 제외하고 앞의 것만 비교했을 때 같다는 뜻으로 썼어요~
(m가 아니라 cm나 mm일 수도 있지만 그냥 m라고 했습니다.)

만약 양쪽(좌우변) 다 l^3 * 어떤 숫자 형태로 나오면 약분되서 l을 구할 수가 없을 거 같아요ㅎ

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먼지바람 · 412960 · 12/12/06 00:44 · MS 2012

ㅋㅋ l에 관한 방정식으로 만드신거군요. ㅎㅎ A= l + l + {3 over 2}l = {7 over 2} l, B = {1 over 20} pi l ^3 이 나오긴 하는데.... 그래서 방정식을 풀면 l^2 =30 ...........음... 분수꼴이 아니라 불안... 어디 미스했나?? 어떤가요?

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먼지바람 · 412960 · 12/12/06 00:53 · MS 2012

참 저 위의 식에서 y = ( l - x^(2/3) ) ^(3/2) 이 아니라
y = (l^(2/3) - x^(2/3))^(3/2) 이 나와야 맞아요. 계산 미스하신 듯....

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먼지바람 · 412960 · 12/12/06 00:57 · MS 2012

아.... 계산 미스 발견했어요. ㅠㅠ 죄송......... 다시 답 올릴께요. ^^;;;

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syzy · 418714 · 12/12/06 01:00 · MS 2012

아 그러네요 ㅎㅎ 고마워요~ A 맞는 거 같아요~

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먼지바람 · 412960 · 12/12/06 01:08 · MS 2012

A = (7/2) l, B= (16/105 ) l^3 , l ^2 = 315/32,
p+q = 347이네요.

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syzy · 418714 · 12/12/06 01:12 · MS 2012

엇 정답!!!!! 고마워요~ 나름 꽤 고난이도인데 끝까지 풀어주셔서..! 님 비롯 몇몇 분들 덕분에 문제 올리는 재미가 있습니다^^

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먼지바람 · 412960 · 12/12/06 01:15 · MS 2012

ㅋㅋ 다행이네요. 답이 맞다니....^^ 금방 풀이 올릴께요. 제가 고맙지요. 님 덕분에 문제 푸는 재미가 있습니다. ㅎㅎ

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