a^0 이 무슨뜻인가요?
수학 교과서에서 봤는데
a^0, 즉 a를 0번 곱한다는게 뭔소린가요?
n이 정수, 유리수, 실수일때 n번 곱한다는게 진짜 무슨 의미일까요??
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계산의 체계를 확립하기 위해 임의로 집어넣은 수아닐까요?
곱이 지수의 합이라던지
hand님 말씀이 맞는듯..
n이 자연수라면 a^n 은 a를 n번 곱한 것으로 정의합니다. 그리고 이를 통해서 소위 지수법칙이라는 것들을 확립하지요.
하지만 이렇게 확립된 지수법칙들이 매우 유용함이 밝혀지고, 또 이 정의를 굳이 자연수로 한정할 이유가 없다는 것이 밝혀지면서 지수의 정의를 우리가 '지수법칙이 성립하도록' 확장을 한 것입니다.
이 과정에서 본래의 의미인 'n번 곱한다'는 의미가 많이 사라지긴 하지만, 실보다는 득이 훨씬 많지요.
그것이 가능하고, 또 그렇게밖에 확장할 수 없다는 것은 수학자들이 약간의 노력을 들여서 이미 증명해놓았으니 (나카렌 님의 포스팅을 보시면, 그 방법에 대한 감을 잡으실 수 있습니다)
그러면, 지수가 자연수를 넘어서 실수까지로 확장되었을 때, 그 의미를 찾을 수는 없을까요? 다음과 같은 조건을 만족하는 함수를 생각해봅시다:
(1) f(x)는 0이 아니며, 그 그래프는 매끄럽다.
(2) f(x+y) = f(x)f(y) 이다.
이 조건을 만족하는 함수는 임의의 자연수 n에 대하여 항상
f(n) = f(1)^n
을 만족함을 알 수 있으며, 약간의 미적분학 지식을 이용하면 임의의 실수 x에 대하여
f(x) = f(1)^x
임을 보일 수 있습니다. 따라서 f(x)는 지수함수가 됩니다. 한편, 조건 (2)를 이용하면 다음 식이 따라나옵니다.
f(x+1)/f(x) = f(1), 혹은 더욱 일반적으로 f(x+y)/f(x) = f(y)
즉, f(x)는 x가 일정한 양만큼 증가했을 때, 함수 f(x)의 '증가 비율' 역시 항상 일정한 함수입니다. 이 지수에 대한 새로운 해석은 자연수 범위에서는 기존의 'n번 곱한다'와 같은 의미를 지니면서 동시에 지수가 자연수가 아니어도 얼마든지 적용할 수 있는 성질이지요. 그리고 이러한 성질은 수학 내부와 외부 모두에서 매우 중요하게 등장하는 성질입니다. (예를 들면 시간에 따른 방사성 입자의 양 N(t)는 dN(t) = -λN(t)dt 로 주어집니다. 이는 N(t+dt) - N(t) ≒ -λN(t)dt, 혹은 N(t+dt)/N(t) ≒ 1 - λdt 를 의미하는데, 이는 N(t)가 시간이 일정하게 증가하면 그 증가율 역시 일정함을 뜻합니다. 따라서 N(t) 역시 지수함수가 되지요.)